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高中數學,求兩個動向量乘積最小值?記住這些,壓軸題變送分題

    原題

    原題:如圖,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60度,D,E分別是邊AB,AC上的點,AE=1,且向量AD·向量AE=1/2,則|AD|=?

    若P是線段DE上的一個動點,則向量BP·向量CP的最小值為多少?

  • 圖一
  • 這道題主要是求兩個動向量乘積的最小值,相當是兩個變量求最小值的情況。

    對于這樣的題在求不等式的時候我們是常見的,但一般都是通過不等式的變形將兩個變量轉化成一個變量的形式去求其最小值。

    這里也存在同樣的思想——將兩個變量轉化成一個變量的形式。

    但是唯一不同的是不等式將兩個變化轉化的過程中,有明確的已知條件和使用的基本不等式,而在向量中就似乎看不到什么已知和使用的公式,其實它們都是存在的。

    下面就講解的過程詳細地說明該題的解法。

    第一問

    第一問是求向量AD的模長,即線段AD的長度。

    這一問比較簡單,只需要找到關于AD的關系式進行求解即可。

    因為向量AD·向量AE=1/2,且向量AD·向量AE=|AD|·|AE|·cos∠BAC,所以|AD|·|AE|·cos∠BAC=1/2.

    因為AE=1,∠BAC=60度,所有|AD|·1·cos60度=1/2,解得到|AD|=1。

    在三角形ADE中,根據余弦定理DE=1,所以三角形ADE是等邊三角形。

    第二問

    第二問是求動向量BP和動向量CP的乘積的最小值。

    其實求向量乘積的最小值和其他函數求最小值的情況基本相同。

    向量中隱藏的公式就是向量三角形的加法法則和向量平行四邊形加法法則,這些法則就是將向量轉化的工具。

  • 圖二
  • 因為向量BP和向量CP是動向量,要想求它們乘積的最小值,就要將其轉化。

    在三角形BDP中,根據向量三角形加法法則有向量BP=向量BD+向量DP;

    在三角形CEP中,根據向量三角形加法法則有向量CP=向量CE+向量EP。

    所以向量BP·向量CP=(向量BD+向量DP)(向量CE+向量EP)

    =向量BD·向量CE+向量BD·向量EP+向量DP·向量CE+向量DP·向量EP

    因為向量BD和向量CE的夾角就是∠BAC,因為∠BAC=60度,所以向量BD和向量CE的夾角就是60度,因為AB=3,AC=2,AE=1,由第一問知AD=1,所以BD=2,CE=1,所以向量BD·向量CE=|BD|·|CE|·cos∠BAC=2×1×1/2=1;

    因為向量BD和向量EP的夾角是∠BDE,因為∠BDE是三角形ADE的外角,且三角形ADE是等邊三角形,所以∠BDE=120度,BD=2,所以向量BD·向量EP=|BD|·|EP|·cos∠BDE=-|EP|;

    因為向量DP和向量CE的夾角是∠DEC,∠DEC也是三角形ADE的外角,所以∠DEC=120度,且CE=1,所以向量DP·向量CE=|DP|·|CE|·cos∠DEC=-|DP|/2;

    因為向量DP和向量EP是兩個反向向量,所以向量DP·向量EP=-|DP|·|EP|。

    綜上所述,向量BP·向量CP=1-|EP|-|DP|/2-|DP|·|EP|.

    因為|EP|+|DP|=|DE|=1,所以上述的“向量BP·向量CP=1-|EP|-|DP|/2-|DP|·|EP|”中的兩個變量|EP|和|DP|的和是定值,所以就可以通過這個定值,將等式“向量BP·向量CP=1-|EP|-|DP|/2-|DP|·|EP|”轉化成一個變量的形式。

  • 圖三
  • 設|DP|=x,則|EP|=1-x,0<x<1。

    所以向量BP·向量CP=1-|EP|-|DP|/2-|DP|·|EP|=1-1+x-x/2-(1-x)x=x^2-x/2=x^2-x/2+(1/4)^2-(1/4)^2=(x-1/4)^2-1/16.

    即,當x=1/4時,向量BP·向量CP取最小值-1/16.

    總結

    對于向量很多同學都不是很理解,甚至不知道該如何入手,其實向量也和實數一樣都有自己轉化的公式和對應的關系,要想學好向量就要將向量中存在的所有的公式熟練的掌握并能運用到計算之中。

    向量題中的很多思路都和實數之間的運算思路是相同,例如,遇到動向量就要將動向量通過向量公式轉化成定量的形式去計算。

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來自:四地賢夫  > 高考數學
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